测度与积分理论简明教程

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第二章 测度论

引言

实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼(Riemann )积 分进行推广, 而建立一种应用范围更广, 使用起来更灵活、 便利的新的积分理论 即 Lebesgue 积分理论 .

数学分析中 Riemann 积分基本上是处理几乎连续的函数,但随着理论的发 展, Riemann 积分理论的缺陷变得愈来愈明显,主要表面在以下两个方面:一方 面是对被积函数的连续性要求太强, 以致于著名的 Dirichlet 函数这样一种非常 简单的函数都不可积; 另一方面是应用起来有很大的局限性, 这种局限性突出表 现在可积函数项级数的逐项积分,以及可积函数列的积分与极限的可交换性方 面, 一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性, 而这一要求在实际问题中 常常得不到满足, 或虽然满足要想验证又非常的繁复, 因此, 无论在理论方面还 是在实际应用方面改进 Riemann 积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必 要的 .

通常对 Riemann 积分的改进可从两方面着手, 一方面是对积分范围划分的改 进。在 Riemann 积分中,对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积” 或 “有体积” 划分, 即把积分范围划分成在通常意义下 “有面积或体积” 的小块 . 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于 Dirichlet 函 数不可积 . 所以有必要对 “有面积或体积” 划分的含义进行扩充, 即对通常意义 下的“有面积或体积”的集合进行扩充,使之适合于更广的一类集合,由此便产 生了本章要介绍的集合的测度;另一方面是对被积函数进行改进 . Riemann 积分 中的被积函数对连续的要求很苛刻, 以致于函数的连续性稍微不好, 就会导致函 数不可积 . 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充, 使之适合于 更广的一类函数,由此产生了第三章要介绍的可测函数 .

本章主要介绍集合的 Lebesgue 测度,它是通常意义下“面积或体积”概念 的一种推广(即能保持通常意义下“体(面)积”的特性:①非负性;②当集合 为区间时,其测度即为区间的体积;③完全可加性即当 {

i

E }为一列互不相交的

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2018-05-17 17:24:56
25d42ad4d7
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很好很!!!好
2019-03-05 11:01:40
25d42ad4d7
3 楼
很!好
2019-03-05 11:02:10